A SOLUÇÃO PARA "O COLAR DE DEMÓCRITO"
Giorgio Carboni, Maio de 1999
Traduzido e versado do original publicado por Ron Wickersham, Santa Rosa, California, USA
PROBLEMA
Determinar o comprimento da fileira que é obtida quando os átomos de um grão de sal de cozinha de volume igual a 1 mm3são postos um ao lado do outro.
DADOS
(retirados do CRC Handbook of Chemistry and Physics)
| Densidade do sal | d(NaCl) = 2,165 g/cm3 | |
| Massa molar do sódio | M(Na) = 22,9898 g | massa de 1 mol de sódio |
| Massa molar do cloro | M(Cl) = 35,453 g | massa de 1 mol de cloro |
| Número de Avogadro | N = 6,0221 × 10 23 | Número de átomos em 1 mol |
SOLUÇÃO N° 1
Com base na densidade do sal, na massa de um mol de NaCl e no número de Avogadro, calcule o número de átomos em um grama.
Com base no número de átomos presentes em um grama e no comprimento de ligação, calcule o comprimento da fileira que resulta quando você posiciona os átomos lado a lado.
Cálculo do número de átomos em um grão de sal:
| Massa molar do sal de cozinha |
M(NaCl) = M(Na) + M(Cl) |
| M(NaCl) = 22,9898 g + 35,453 g | |
| M(NaCl) = 58,4428 g | |
| massa do grão de sal |
massa do grão = d(NaCl)/1000 cm -3 |
| massa do grão = 2,165g.cm -3/1000 cm -3 | |
| massa do grão = 2,165 × 10 -3 g | |
| número de moléculas no grão |
n°moléculas = N × massa do grão/M(NaCl) |
| n°moléculas = 6,0221 × 10 23 × 2,165 × 10 -3 / 58,4428 | |
| n°molecules = 2,2309 × 10 19 | |
| número de átomos no grão de sal |
n°átomos = n°moléculas × 2 |
| n°átomos = 2,2309 × 10 19 × 2 | |
| n°átomos = 4,4618 × 10 19 |
Cálculo do comprimento da fileira de átomos no grão:
| comprimento de ligação (cl) |
cl = 1 / raíz cúbica do número de átomos presentes no grão |
| cl = 1 / raíz cúbica de of 4,4618 × 10 19 | |
| cl = 2,8194 × 10 -7 mm | |
| cl = 2,8194 × 10 -10 m | |
| Comprimento do colar (L) |
L = cl × número de átomos |
| L = 2,8194 × 10 -10 m ´ 4,4618 × 10 19 | |
| L = 12,58 × 10 9 m | |
| L = 12,58 × 10 6 km |
SOLUÇÃO N° 2
Considerando os átomos como sendo esféricos, desde que nós saibamos seus diâmetros, é possível determinar por geometria quantas dessas esferas estão contidas em um volume de 1 mm3.
Nos cristais de sal, os átomos ocupam os nós de uma rede cúbica. Vamos assumir que os átomos possuem todos as mesmas dimensões. Na realidade o átomo de Cloro tem o dobro do diâmetro do átomo de Sódio, mas essa diferença não tem influência no resultado final. De fato, se o comprimento de ligação permanecer o mesmo, os nós do retículo cristalino permanecem inalterados também.
A fim de pensar sobre esse método, nós lançaremos uma hipótese de que os átomos têm um diâmetro D - 0,1 mm. Neste caso, o número de átomos presentes no cubo poderia ser igual a: 10 x 10 x 10 = 1000. Posicionando os 1000 átomos em uma fileira, nóscalculamos o comprimento: 1000 x 0,1 = 100 mm.
Dessa consideração nós podemos criar a seguinte fórmula:
L = sl/D × sl/D × sl/D × D
Da qual podemos obter: L = sl3/D2
onde sl é o comprimento do lado do cubo e D é o diâmetro médio dos átomos e o comprimento da ligação ao mesmo tempo. A fração sl/D expressa o número de átomos presentes ao longo de um lado do cubo. Assim, de uma forma muito simples, substituindo D com o comprimento de ligação dos átomos no sal e expressando todas as dimensões em milímetros, nós obtemos:
| Comprimento do colar(L) |
L = sl3/cl2 |
| L = 1/(2,8194 × 10 -7 )2 mm | |
| L = 1,258 × 10 13 mm | |
| L = 12,58 × 10 6 km |
CONCLUSÃO
O colar de Demócrito tem em torno de 12,58 milhões de quilômetros de comprimento! Esta dimensao é mais que 33 vezes a distância entre a Terra e a Lua (384000 km). Longe de ser negligenciável esse colar! Quando Demócrito contar o resultado a Leucipo, ele ficará atônito. E nós estamos estupefatos também. Não apenas pelo comprimento do colar de Demócrito, mas também e acima de tudo pelas dimensões dos átomos que até agora nós nunca tínhamos imaginado serem tão diminutas, para não falar do número astronômico de átomos contido em um grão de sal. Na próxima vez que você encontrar um grão de sal no saleiro sobre a mesa, segure um grão entre seus dedos e olhe-o por alguns momentos, ele merece sua contemplação
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Algumas informações sobre Leucipo: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Leucippus.ht ml
Algumas informações sobre Demócrito: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Democritus. html
FONTE:Fun Science